ánh xạ là gì

Nội dung bài giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về quan niệm, nghịch hình họa, toàn ánh, đối chọi ánh, tuy nhiên ánh, ảnh xạ ngược, ảnh xạ thích hợp. Mời chúng ta cùng tyêu thích khảo!


1. Định nghĩa

2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, chi phí ảnh)

3. Toàn ánh

4. Đơn ánh

5. Song ánh

6. Ảnh xạ ngược

7. Hình ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

8. Định nghĩa


Cho nhì tập hợp (X,Y e emptyset), một phxay liên kết f tương xứng từng phần tử x (in) X với duy nhất thành phần y (in) Y được Hotline là 1 ánh xạ từ bỏ X vào Y.

Bạn đang xem: ánh xạ là gì

Ký hiệu: f : X →Y

(x, mapslớn y = f(x))

Lúc đó X Hotline là tập đúng theo mối cung cấp (miền xác định) và Y điện thoại tư vấn là tập hợp đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là một trong những ánh xạ trường hợp đa số phần tử của X đều sở hữu hình họa độc nhất ((in) Y)

Ánh xạ f : X → R với(X subset R) được gọi là 1 hàm số thực với phát triển thành số thực số thực.


Cho ánh xạ f : X→ Y

(A subphối X), ảnh của tập A là(f(A) = left f(x) in Yleft ight\)

Ảnh ngược của(B subset Y) là(f^ - 1(B) = left f(x) ight. in B ight\)

điều đặc biệt khi(B = left y ight subset Y) ta viết(f^ - 1( y ) = f^ - 1(y) = left x in Xleft ight\)

(x in f^ - 1(y))được Điện thoại tư vấn là ảnh ngược của y

Ví dụ: Cho f : R→ R, f(x) = x2 và B = -5, 2, 4, 9, 0

Thì

(eginarrayl f^ - 1left( B ight) = m left pm sqrt 2 , pm 2, pm 3,0 ight\ f^ - 1left( 169 ight) = left pm 13 ight;f^ - 1left( - 3 ight) = m emptyphối \ f^ - 1left( 2 ight) = left pm sqrt 2 ight;f^ - 1left( - 5 ight) = emptyset endarray)


3. Toàn ánh:


Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh lúc và chỉ còn khi f(X) = Y.

Ta có:

(f(X) = Y Leftrightarrow forall y in Y,exists in X:f(x) = y)

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) bao gồm ít nhất một nghiệm.

( Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) e emptyset)

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì(f^ - 1( - 2) = emptyset) (pmùi hương trình x2 = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vị (forall y in R^ + ), pmùi hương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn luôn tất cả nghiệm(x = pm sqrt y)

Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh với X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y.


4. Đơn ánh


Cho ánh xạ f: X → Y.

Xem thêm: Danh Sách Các Đơn Vị Đo Độ Dài Và Cách Đổi Đơn Vị Độ Dài Và Khoảng Cách

f là 1-1 ánh(forall x_1,x_2 in X,va,x_1 e x_2 Rightarrow f(x_1) e f(x_2))

Ta có: f là đối kháng ánh

“( Leftrightarrow forall x_1,x_2 in X) và f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2”

(Leftrightarrow forall y in Y), phương thơm trình y = f(x) có rất nhiều tuyệt nhất là một nghiệm”

(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) = emptyset)hay(f^ - 1(y)) bao gồm đúng một phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x2 ko là đơn ánh vị f(-2) = f(2) = 4

f : R+ →R xuất xắc R- → R, f(x) = x2 là solo ánh

f : R →R,(f(x) = frac3x - 57) là đối chọi ánh vì

(eginarrayl forall x_1x_2 in R,,va,,f(x_1) = f(x_2)\ Leftrightarrow frac3x_1 - 57 = frac3x_2 - 57 Leftrightarrow x_1 = x_2 endarray)


5. Song ánh:


Cho ánh xạ f: X→ Y.

f là tuy nhiên ánh ⇔f là 1-1 ánh với f là toàn ánh.

Ta có: f là tuy vậy ánh

(Leftrightarrow forall y in Y), phương thơm trình f(x) = y tất cả độc nhất nghiệm


(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y))tất cả độc nhất vô nhị một trong những phần tử.

Ví dụ:

(f:R lớn R;,f(x) = frac3x - 57)là tuy vậy ánh vì(forall y in R), phương thơm trình(y = frac3x - 57)tất cả nghiệm duy nhất(x = frac7x + 53)


6. Hình ảnh xạ ngược:


Nếu f : X → Y là song ánh(x mapslớn f(x))thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược của f :

(eginarrayl f^ - 1:Y o X\ y = f(x) mapskhổng lồ x = f^ - 1(y) endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ + o R^ + ,f(x) = x^2\ (y = x^2 Leftrightarrow x = sqrt y ,x,y ge 0)\ f^ - 1(y) = sqrt y (x,y ge 0),,hay,f^ - 1(x) = sqrt x , endarray )

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ - o R^ + ,f(x) = x^2\ f^ - 1(y) = - sqrt y ,,hay,f^ - 1(x) = - sqrt x , endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R khổng lồ R^ + ackslash 0 ;f(x) = 3^x\ f^ - 1:R^ + ackslash 0 lớn R,,hay,f^ - 1(x) = log _3x endarray )


7. Hình ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)


Cho nhì ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được khái niệm h(x) = g,(forall x in X)

Ký hiệu: h = gof được Call là ánh xạ phù hợp (ánh xạ tích) của f cùng g.

Xem thêm: Cách Làm Người Yêu Hết Giận Khi Yêu Xa, Cách Làm Người Yêu Hết Giận Trong Một Nốt Nhạc

Ví dụ:

(eginarrayl f:R lớn <5; + infty ),f(x) = x^2 + 5\ g:,<5; + infty ) o R^ - ,,g(x) = - sqrt x + 2 endarray)

Thì(g_of(x) = g(x^2 + 5) = - sqrt (x^2 + 5) + 2 = - sqrt x^2 + 7)

Ví dụ:(f,g:R lớn R;f(x) = 3x^2 - x;,,g(x) = frac2x + 54)

Thì

(g_of(x) = g(3x^2 - x) = frac2(3x^2 - x) + 54 = frac6x^2 - 2x + 54)

(f_og(x) = fleft( frac2x + 54 ight) = 3left( frac2x + 54 ight)^2 - frac2x + 54 = frac12x^2 + 52x + 5516)

Nhận xét:

thường thì,(g_of e f_og)(left( g_of ight)^ - 1 = f^ - 1_og^ - 1)(mang sử f, g là tuy nhiên ánh)(f^ - 1_of^ - 1(y) = y,forall y in Y)(f:X → Y là tuy vậy ánh)(f^ - 1_of^ - 1(x) = x,forall x in X)(f:X → Y là tuy vậy ánh)Giả sử(f_o(g_oh)) trường tồn, ta có:((f_og)_oh = f_o(g_oh))

8. Định nghĩa


Một tập A được nói là hữu hạn và gồm n bộ phận nếu như mãi sau một tuy nhiên ánh giữa A với tập nhỏ 1, 2, 3,..., n của N . lúc kia, ta viết: CardA = n giỏi |A| = n.Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.Hai tập A cùng B được nói là đồng lực lượng nếu sống thọ một tuy nhiên ánh tự A vào B.Một tập A được nói là đếm được ví như sống thọ một tuy nhiên ánh giữa A và tập bé N của N . Khi đó, trường hợp N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói phương pháp khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được giả dụ tồn tại một song ánh giữa A và tập N .

Chuyên mục: Blogs