Cách tính ma trận nghịch đảo

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được hotline là ma trận đơn vị ví như A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp cho n

Ta phân biệt ma trận bên trên là trường tồn. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp cho n

Trong khi, ma trận đơn vị là độc nhất vô nhị. Thật vậy, trả sử gồm hai ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị yêu cầu I.I’ = I’.I = I’

với I’ là ma trận đơn vị chức năng đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như mãi sau một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.Quý Khách đang xem: Ma trận nghịch đảo 4x4

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì chưng mang sử mãi sau ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Cách tính ma trận nghịch đảo

Thật vậy, mang đến A là ma trận cấp cho m x n bên trên ngôi trường số K. lúc kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu mãi sau ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp trường thọ ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, dĩ nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái với khả nghịch bắt buộc.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không ko khả nghịch.

5. Tập thích hợp những ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được cam kết hiệu là GLn(K).

Xem thêm: Cách Làm Món Ếch Xào Xả Ớt Ngon Cay, Đậm Đà Khó Cưỡng, Cách Thực Hiện Món Ếch Xào Sả Ớt I Ếch Xào Sả Ớt

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch do với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đa số có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hàng hãy thừ chứng minh kết quả bên trên nhé)

3. Mối quan hệ nam nữ giữa ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2) được điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) trường hợp E thu được từ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp dòng tốt cột hotline thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho loại (xuất xắc cột) đầy đủ khả nghịch cùng nghịch đảo của nó lại là 1 ma trận sơ cung cấp loại.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp tác dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


Ma trận sơ cung cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). khi đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy tự A bởi một trong những hữu hạn những phnghiền chuyển đổi sơ cung cấp cái (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Quý Khách gọi rất có thể coi chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc và chỉ còn lúc dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra từ bỏ A vì chưng một số hữu hạn những phnghiền biến đổi sơ cấp mẫu (cột); mặt khác, thiết yếu dãy những phxay biến hóa sơ cấp cái (cột) đó sẽ phát triển thành In thành nghịch đảo của ma trận A.

Xem thêm: App Remote Máy Lạnh Bằng Điện Thoại Trên Ios, Điều Khiển Điều Hòa

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bởi phnghiền chuyển đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tìm kiếm nghịch đảo (trường hợp có)của ma trận A vuông cấp cho n trên K. Thuật toán thù này được tạo ra phụ thuộc vào tác dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A


Lập ma trận bỏ ra kăn năn cung cấp n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu như A’ mở ra tối thiểu 1 cái ko thì mau lẹ kết luận A không khả nghịch (không cần thiết phải chuyển A’ về dạng thiết yếu tắc) và xong thuật toán thù.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tra cứu ma trận nghịch đảo của:


Chuyên mục: Blogs