định lý giá trị trung bình

Các định lý về cực hiếm trung bình đóng một sứ mệnh đặc biệt trong giải tích tân oán học tập, cùng đượcliên tiếp khai thác trong các kỳ thi Olympic Tân oán địa phương, quốc gia cùng quốc tế (sinh hoạt cấpđộ học viên THPT hoặc sinc viên Đại học). Chúng tỏ ra là 1 trong cách thức khôn xiết hiệu lực trong việcgiải các bài bác toán tương quan tới việc vĩnh cửu nghiệm và các đặc thù định lượng của nghiệm củacác dạng pmùi hương trình khác biệt. Trong bài báo này ta lần lượt khảo sát điều tra các bài toán thù nhưchũm nhờ vào vận dụng các...

Bạn đang xem: định lý giá trị trung bình


*

LỚPhường CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE THEOREMS LÊ HOÀNG TRÍ Trường Đại học tập Sư phạm, Đại học tập Đà Nẵng LÊ HOÀNH PHÒ HV Cao học khoá 2004-2007 TÓM TẮT Các định lý về quý hiếm vừa đủ đóng một mục đích quan trọng đặc biệt trong giải tích tân oán học, và được liên tục khai quật trong những kỳ thi Olympic Tân oán địa phương thơm, tổ quốc với nước ngoài (ở cấp độ học sinh trung học phổ thông hoặc sinh viên Đại học). Chúng tỏ ra là một trong pháp luật rất hiệu lực vào vấn đề giải những bài bác toán liên quan đến sự trường thọ nghiệm và các đặc điểm định lượng của nghiệm của tương đối nhiều dạng phương trình không giống nhau. Trong bài xích báo này ta theo thứ tự khảo sát điều tra những bài toán thù như vậy nhờ vào ứng dụng các định lý về quý giá trung bình trong cha lĩnh vực: tiếp tục, khả vi với khả tích. ABSTRACT Theorems of the so-called mean-value kind play an important role in mathematical analysis và are frequently exploited in regional, national and international olympiads (of high-school or university level). They are the most powerful tool in solving problems concerning the existence & quantitative sầu property of solutions to lớn various equations. In this paper, we investigate some kinds of problems using such theorems in the three subjects: continuity, differentiability and integrability.1. Phương thơm pháp thực hiện hàm số liên tiếp Định lý 1.1 Nếu hàm số f thường xuyên bên trên đoạn và f(a).f(b) 0; f( )= 1− 0 3 3 buộc phải pmùi hương trình đến tất cả 3 nghiệm khác nhau x1, x2, x3. Theo định lý Viet: x1 + x2 + x3 = 0; x1x2 + x2x3 + x3x1 = −1; x1x2x3 = −1 Ta có: x i − xi + 1 = 0 ⇒ x i = xi − 1 3 3 ⇒ x5 = x 3 − x i = −x i + xi − 1 nên: x8 = 2 x i − 3xi + 2 2 2 2 i i i 3 3 3 Do đó: T = ∑x i =1 i 8 = 2 ∑ xi 2 − 3 ∑ xi + 6 i =1 i =1 3 = 2<( ∑ xi )2 − 2 i∑1 3 3 > − 3 ∑ xi + 6 =10. xi x j , j= i =1 i≠ j i =1Bài toán 2: Chứng minh tập nghiệm của bất phương trình: 1 2 70 5 + + ... + ≥ x −1 x − 2 x − 70 4 là thích hợp những khoảng tách nhau cùng gồm tổng độ lâu năm là 1988. (Olympic Quốc tế) 1 2 70 5 70 k 5 Giải:Ta có: + + ... + − =∑ − x −1 x − 2 x − 70 4 k =1 x − k 4 ∑ k ∏ ( x − j) j≠k 5 4∑ k ∏ ( x − j ) − 5∏ ( x − j ) j≠k = − = ∏ ( x − j) 4 4∏ ( x − j ) f ( x) = với qui ước k, j = 1,70. g ( x) Rõ ràng g(x) = 0 gồm 70 nghiệm x = 1,2,..., 70 Và f thường xuyên bên trên R, f(k).f(k+1) 0 nên cũng có → +∞đủ 70 nghiệm xen kẹt là: 1 | f(x1) - f(x0) | = | x1 - x0|: mâu thuẫn cùng với mang thiết. Vậy phương trình f(x) = x bao gồm tốt nhất một nghiệm ở trong .2.

Xem thêm: Vụ Án Đổ Bê Tông Ở Bình Dương : Nữ Chủ Mưu Kêu Oan, Lạnh Lùng Đến Tòa Phúc Thẩm

Pmùi hương pháp thực hiện phxay tính vi phânĐịnh lý 2.1 (Định lý ROLLE) Cho f là một hàm liên tục trên cùng khả vi bên trên (a;b). Nếubao gồm f(a) = f(b) thì tồn tại c∈(a;b) nhằm f " (c) = 0 Kết quả: thân 2 nghiệm của pmùi hương trình f(x)=0 có 1 nghiệm của phương trình f "(x)=0.Định lý 2.2 (Định lý CAUCHY) Cho ϕ và ψ là thường xuyên trên và khả vi trên (a;b). Lúcđó lâu dài c∈(a;b) để: <ψ(b)-ψ(a)>ϕ "(c) = <ϕ (b)-ϕ (a)>ψ "(c)Định lý 2.3 (Định lý LAGRANGE) Cho f là 1 trong những hàm tiếp tục bên trên với khả vi trên(a;b). Lúc kia lâu dài c∈(a;b) để: f(b) - f(a) = (b - a ) f "(c) Các bài bác toán thù áp dụng:Bài tân oán 4: Cho hàm số f thường xuyên và tất cả đạo hàm trên (0;+∝) và chưa phải là hàmhằng.Cho 2 số thực 0 2na0a2. (Olympic Nga) − Giải: Đặt f(x) = a0xn + a1xn 1 +... + an−1x + an, thì f khả vi vô hạn bên trên R Vì f(x) có n nghiệm riêng biệt cần theo định lý Rolle thì: f "(x) gồm n − 1 nghiệm rành mạch f "(x) có n − 2 nghiệm phân biệt,... − n! ⇒ f(n 2) (x) = a0x2 + (n − 1)! a1x + (n − 2)! a2 gồm 2 nghiệm phân biệt. 2 Do đó: ∆ > 0 nên: ((n − 1)! a1)2 − 2n! a0(n − 2)! a2 > 0 Vậy: (n − 1)a12 > 2na0.a2.Bài toán thù 6: Cho hàm số f khả vi bên trên <0;1> với thoả mãn:f(0)=0 ; f(1) = 1.Chứng minch trường thọ 2 số khác nhau a;b ở trong (0;1) làm thế nào để cho f "(a).f "(b) = 1.(Olympic Hoa kỳ)Giải: Xét hàm số g(x)= f(x) +x - 1 thì g khả vi bên trên <0;1>Ta có: g(0)= - 1 0 đề xuất tồn tại số c trực thuộc (0;1) làm thế nào cho g(c) =0.Do đó f(c) + c -1 =0 hay f(c) = 1- c.Áp dụng định lý Lagrange mang lại f trên những đoạn <0;c> cùng thì: f (c) − f (0)mãi sau a∈(0;c) sao cho: = f " (a) c−0 f (1) − f (c )với mãi sau b∈(c;1) sao cho: = f " (b) , 1− c f (c) 1 − f (c) (1 − c)cnên: f " ( a). f " (b) = = =1. c 1− c c (1 − c)Vậy lâu dài 2 số khác nhau a;b ở trong (0;1) sao cho f "(a).f "(b) = 1.3. Phương pháp sử dụng phxay tính tích phânĐịnh lý 3.1: Cho f là một trong hàm khả tích bên trên với m,M tương xứng là giá trị nhỏ tốt nhất, giátrị lớn nhất của f bên trên . Lúc đó vĩnh cửu µ∈ sao cho: b ∫ f ( x)dx = µ (b − a) aĐịnh lý 3.2: Cho f là 1 hàm thường xuyên trên . Lúc đó tồn tại ξ∈ sao cho: b ∫ f ( x)dx = (b − a) f (ξ ) . aCác bài bác toán thù áp dụng:Bài toán 7: Cho a ∈ (0;1). Giả sử f liên tiếp trên đoạn <0;1> thoả điều kiện: f(0) = f(1) = 0.Chứng minh trường tồn b ∈ <0;1> thế nào cho, hoặc f(b) = f(b-a) hoặc f(b) = f(b+a-1) (Olympic sinch viên)Giải: Ta mở rộng hàm f trên R để được hàm tuần hoàn chu kỳ T = 1, vì chưng f(0) = f(1) = 0 nênhàm mới, vẫn kí hiệu f, liên tiếp bên trên R. Xét hàm số: g(x)= f(x+a) - f(x) thì g liên tiếp bên trên Rkhi đó: 1 1 1 ∫ g ( x)dx = ∫ f ( x + a)dx − ∫ f ( x)dx 0 0 0 1+ a 1 = ∫ f ( x + a)dx − ∫ f ( x)dx = 0 a 0Mà theo định lý 3.2 thì trường tồn c∈<0;1> sao cho: 1 ∫ g ( x)dx = (1 − 0) g (c) = g (c) buộc phải g(c)=0 0cho nên vì vậy 0= f(c+a) - f(c) nên 0 =f(c+a) -f(c) = f(c+a+n) -f(c) cùng với n nguyên ổn. Vậy, nếu c+a ∈<0;1> thì lựa chọn b = c+a ∈ <0;1> Còn giả dụ c+a >1 thì chọn b = c∈ <0;1> π /2 πBài tân oán 8: Giả sử f liên tục bên trên <0; > với thoả mãn: f(0) > 0, ∫ f ( x) dx <5>Nguyễn Vnạp năng lượng Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minc Tuấn, Các đề thi Olympic Toán thù sinc viên đất nước hình chữ S, Nxb Giáo dục đào tạo, Hà Nội, 2006.

Xem thêm: Cách Làm Mứt Dừa Vị Cafe Bùi Bùi Ngon Ngất Ngây, Cách Làm Mứt Dừa Vị Cà Phê Thơm Phức Đón Năm Mới

<6>Yaglom I.M, Chentsop N.N, Shklyarsky D.O, Selected Problems & Theorems in Elementary Mathematic, Mir Publishers, Moscow, 1979.

Chuyên mục: Blogs